1. La Constant Pi (π) i l'Atzar
La constant Pi (π) és un valor fonamental en ciència i enginyeria que relaciona la circumferència d'un cercle amb el seu diàmetre. Calcular el seu valor exacte requereix fórmules molt complexes.
La simulació de Montecarlo, batejada així pels famosos casinos de Mònaco, és una tècnica que aprofita el poder de l'aleatorietat. La idea és senzilla: si "disparem" milers de punts a l'atzar dins d'una àrea coneguda, podem utilitzar l'estadística per resoldre problemes matemàtics complexos.
2. Deducció Matemàtica
Per entendre com s'obté l'estimació i com es fa el càlcul, hem de mirar la geometria general del problema.
Pas A: Les Àrees
Imagina un cercle de radi
r inscrit en un quadrat (costat = 2r).
Àrea Cercle = π · r²
Àrea Quadrat = (2r)² = 4 · r²
Pas B: La Proporció
Si dividim l'àrea del cercle entre l'àrea del quadrat, el radi (
r²) s'anul·la:
Àrea CercleÀrea Quadrat
=
π · r²4 · r²
=
π4
*Nota: En el nostre experiment concret, fem servir un radi r=1, però com ja hem vist la relació no depèn del radi.
3. Conclusió Final
Per tant si llencem punts a l'atzar sobre la superfície del quadrat, alguns punts cauran dins i d'altres fora del cercle. La probabilitat que caiguin dins del cercle ha de coincidir amb aquesta proporció d'àrea. Quan el nombre de punts aleatoris s'acosta a infinit, el quocient entre el nombre de punts s'acosta al quocient entre les àrees
Tenim la igualtat:
Punts DinsTotal Punts
≈
π4
Aïllem la constant π multiplicant per 4:
4 ·
Punts DinsTotal Punts
≈ π
